Apa yang dimaksud dengan fungsi objektif?

4.2/5 - (5 votes)

Edumatik.Net Hallo semuanya, kali ini kita akan belajar tentang materi program linear.
Apa yang dimaksud program linear? Program linear adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam bentuk pertidaksamaan linier.

Permasalahan program linear merupakan suatu permasalahan untuk mencari nilai variabel yang dapat mengoptimumkan (memaksimumkan atau meminimumkan) fungsi objektif dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada.

Apa yang dimaksud fungsi objektif?
Fungsi objektif atau fungsi tujuan adalah suatu fungsi linier yang berbentuk \(z=f(x,y)= ax+by\). Fungsi objektif ini digunakan untuk mencari nilai maksimum atau minimum setelah menemukan titik pojok.

Advertisements

Apa yang dimaksud titik pojok/titik ekstrim?
Titik pojok/titik ekstrim adalah titik-titik yang berada pada daerah penyelesaian yang merupakan perpotongan dua garis pembatas, berikut adalah contoh dari titik pojok.

Garis pembatas pada program linear atau disebut juga dengan fungsi kendala adalah sistem pertidaksamaan linier yang menjadi batas-batas dari daerah penyelesaian, contohnya seperti dibawah ini.

\(\begin{cases} 2x-2y \geq -4 \\ 2x+3y \leq 12 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)

Materi prasyarat program linear sudah aku bahas di tulisan sebelumnya, ada dua materi yang harus kamu kuasai sebelum mempelajari program linear, yaitu menentukan daerah penyelesaian dan satu lagi menentukan sistem pertidaksamaan.

Apa sih manfaat program linear dalam kehidupan sehari-hari?
Program linear biasanya digunakakan dalam bidang ekonomi atau bisnis, salah satu contoh manfaat program linear yaitu untuk membantu mengetahui berapa sih bahan baku yang harus dipakai suatu pabrik agar biaya produksinya rendah tapi keuntungannya maksimal.

Sepertinya dengan memberikan contoh soal dan pembahasan program linear sederhana kamu akan lebih paham, iya kan? Oke, aku akan kasih kamu contoh soal program linear.

Contoh Soal Program Linear dengan Metode Uji Titik Pojok

Sebelum membahas contoh soal program linear, agar pekerjaan kita sistematis aku akan kasih langkah-langkah bagaimana menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) fungsi objektif/fungsi tujuan.

1. Tentukan DHP
Cara menentukan daerah himpunan penyelesaian udah aku bahas di tulisan sebelumnya.

2. Cari Titik Pojok
Carilah titik pojok pada DHP, gunakan materi SPLDV (siatem persamaan linier dua variabel) untuk mecari titik pojok yang belum diketahui.

3. Cari Nilai Optimum
Pencarian nilai optimum (maksimum atau minimum) yaitu dengan cara memasukan setiap titik pojok kepada fungsi tujuan.

Nilai yang paling besar disebut nilai maksimum, dan titik pojoknya disebut titik maksimum. Sedangkan nilai yang paling kecil disebut nilai minimum, dan titik pojoknya disebut titik minimum.

Berikut adalah contoh soal uraian program linear dan pembahasan, simak baik-baik yaa!

1). Berapakah nilai \(x\) dan \(y\) agar fungsi \(f(x,y)=80x+60y\) maksimum, dengan fungsi kendalanya adalah sebagai berikut:
\(\begin{cases} x+y \leq 50 \\ x+2y \leq 80 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)

Advertisements

Jawab:

Menentukan DHP
Sekali lagi aku ingetin, teknik untuk menentukan DHP sudah aku bahas secara lengkap ditulisan sebelumnya yaitu menentukan daerah penyelesaian. Disini aku gak akan jelasin lagi, jadi agar kamu paham sebaiknya baca dulu materi prasyaratnya.

\(x+y = 50\) . . . (1)

\(x+2y = 80\) . . . (2)

Koordinat titik potong persamaan (1) terhadap sumbu \(x\) dan sumbu \(y\) adalah \((50,0)\) dan \((0,50)\).

Koordinat titik potong persamaan (2) terhadap sumbu \(x\) dan sumbu \(y\) adalah \((80,0)\) dan \((0,40)\).

Uji DHP garis (1)

Misalkan ambil titik uji \((0,0)\)

\(x+y \leq 50\)

\(0+0 \leq 50\)

\(0 \leq 50\) (pernyataan benar)

DHP berada pada daerah yang ada titik \((0,0)\) (daerah bawah garis).

Uji DHP garis (2)

Misalkan ambil titik uji \((0,0)\)

\(x+2y \leq 80\)

\(0+2(0) \leq 80\)

\(0 \leq 80\) (pernyataan benar)

DHP berada pada daerah yang ada titik \((0,0)\) (daerah bawah garis).

Untuk \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\) artinya DHP berada di Kuadran I. Irisan masing-masing DHP nampak seperti gambar dibawah ini, dan inilah yang dinamakan DHP dari sistem pertidaksamaan.

Mencari Titik Pojok
Koordinat \(O,\) \(A,\) dan \(B\) sudah diketahui, selanjutnya kita cari titik koordinat \(C\).

Koordinat titik potong persamaan (1) dan persamaan (2) dapat dicari menggunakan SPLDV, koordinatnya adalah nilai \(x\) dan \(y\) dari hasil penyelesaian SPLDV.

\(x+y = 50\)
\(\underline{x+2y = 80} -\)
\(-y=-30\)
\(y = 30\)

\(x+y = 50\)
\(x+30 = 50\)
\(x= 50-30\)
\(x=20\)

Koordinat \(C(20,30)\)

Jadi koordinat-koordinat titik pojoknya adalah \(O(0,0),\) \(A(50,0),\) \(B(0,40),\) dan \(C(20,30),\)

Mencari Nilai Maksimum
\(f(x,y) =80x+60y\)
Masukan titik pojok ke fungsi tujuan.

\(f(0,0) =80(0)+60(0) =0\)

\(f(50,0) =80(50)+60(0)=4000\)

\(f(0,40) =80(0)+60(40)=2400\)

\(f(20,30) =80(20)+60(30)=3400\)

Nilai maksimumnya \(4000\). Hal yang ditanyakan pada soal adalah nilai \(x\) dan \(y\) pada saat fungsi objektif maksimum, jawabannya \(x=50\) dan \(y=0\) atau bisa juga dituliskan \((x,y)=(50,0)\).

Gimana gampang banget bukan?
Berikutnya aku akan kasih contoh soal program linear dengan masalah minimum.

2). Tentukanlah nilai minimum \(z=x+2y\) yang memenuhi sistem pertidaksamaan \(x+3y \geq 9,\) \(2x+y \geq 8,\) \(x \geq 0,\) dan \(y \geq 0\).

Jawab:

\(x+3y = 9\) . . . (1)

Titik potong terhadap sumbu \((9,0)\) dan \((0,3)\)

Titik uji \((0,0)\)

\(x+3y \geq 9\)

\(0+3(0) \geq 9\)

\(0 \geq 9\) (pernyataan salah)

Daerah yang ada titik \((0,0)\) adalah daerah yang salah, artinya daerah yang benar berada di sebelahnya (diatas garis).

\(2x+y = 8\) . . . (2)

Titik potong terhadap sumbu \((4,0)\) dan \((0,8)\)

Titik uji \((0,0)\)

\(2x+y \geq 8\)

\(2(0)+(0) \geq 8\)

\(0 \geq 8\) (pernyataan salah)

Daerah yang ada titik \((0,0)\) adalah daerah yang salah, artinya daerah yang benar berada di sebelahnya (diatas garis).

\(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\) daerah penyelesaiannya berada di kuadran I.

Jadi daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas bisa dilihat pada gambar berikut:

Advertisements

Cari koordinat titik pojok \(R\), kalau kamu lancarnya pakai eliminasi boleh-boleh aja pakai cara itu. Kali ini kita akan gunakan cara substitusi, biar bervariasi hehe.

\(x+3y = 9 \to x=9-3y\)

\(2(9-3y)+y = 8\)

\(18-6y+y = 8\)

\(-5y= 8-18\)

\(-5y= -10\)

\(y= 2\)

\(x=9-3y\)

\(x=9-3(2)\)

\(x=9-6\)

\(x=3\)

Jadi koordinat \(R(3,2)\)

Koordinat titik pojoknya adalah \(P(9,0),\) \(Q(0,8),\) dan \(R(3,2),\)

Sekarang kita cari nilai minimumnya.

\(z = f(x,y) = x+2y\)

\(f(9,0) = 9+2(0)=9\)

\(f(0,8) = 0+2(8)=16\)

\(f(3,2) = 3+2(2)=7\)

Jadi nilai minimumnya adalah \(7\)

Contoh Soal Program Linear Metode Garis Selidik

Sama halnya seperti diatas, sebelum membahas contoh soal program linear dengan metode garis selidik aku akan kasih tau dulu langkah-langkah penyelesaiannya. Berikut ini adalah cara menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode garis selidik.

1. Tentukan DHP dan Titik Pojok
Tahap ini sama seperti metode uji titik pojok, yaitu menentukan daerah himpunan penyelesaian terlebih dulu. Akan tetapi tidak selalu mencari titik pojok juga, karena ada beberapa situasi yang tidak mesti harus mencari titik pojok.

2. Gambarkan Fungsi Objektif/Fungsi Tujuan
Cara menggambarkan fungsi tujuan yaitu dengan mencari titik potong dengan sumbu \(x\) dan sumbu \(y\).

3. Geser Garis Fungsi Objektif
Gunakan penggaris atau benda lurus lainnya dan sejajarakan dengan garis fungsi objektif, geser penggaris keatas atau kebawah.

Titik pojok sebelah atas yang terakhir dilalui penggaris maka itulah titik maksimum, sedangkan titik pojok sebelah bawah yang terakhir dilalui penggaris disebut titik minimum.

Agar kamu bisa melihat perbedaan metode uji titik pojok dan metode garis selidik, aku akan gunakan contoh soal yang sama. Oke, inilah dia contoh soal menentukan nilai optimum menggunakan metode garis selidik.

1). Berapakah nilai \(x\) dan \(y\) agar fungsi \(f(x,y)=80x+60y\) maksimum, dengan fungsi kendalanya adalah sebagai berikut:
\(\begin{cases} x+y \leq 50 \\ x+2y \leq 80 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)

Jawab:

Tahap mencari DHP kita lewati yaa, karena prosesnya sama seperti metode uji titik pojok. Berikut adalah DHP dari SPtLDV soal nomor satu.

Menggambar Fungsi Objektif

\(f(x,y)=80x+60y\)

Kita ubah dulu menjadi persamaan garis menggunakan rumusan \(bx + ay = a.b\), sehingga persamaannya menjadi \(80x+60y=4800\).

Agar tidak terlalu besar, kita sederhanakan menjadi \(4x+3y=240\)

Titik potong terhadap sumbu yaitu \((60,0)\) dan \((0,80)\), berikut adalah penampakan gambarnya.

Advertisements

Menggeser Garis Selidik
Jika kita geser maka titik pojok yang terakhir dilalui nampak pada gambar berikut ini.

Seperti terlihat pada gambar, titik pojok bagian atas yang terakhir dilawati garis adalah titik \(A(50,0)\).

Jadi titik maksimumnya adalah \(x=50\) dan \(y=0\).

Apabila yang ditanyakan nilai maksimum, kamu hanya perlu memasukan \((50,0)\) ke fungsi objektif pada soal. Ingat ya, fungsi objektif pada soal bukan yang sudah dibuat persamaan garis yang disederhanakan.

Ini adalah contoh kasus yang saya bilang diatas, yaitu tidak selalu harus mencari titik pojok seluruhnya. Karena pada metode garis selidik, titik pojok yang udah kita cari menggunakan SPLDV belum tentu menjadi titik optimum.

2). Tentukanlah nilai minimum \(z=x+2y\) yang memenuhi sistem pertidaksamaan \(x+3y \geq 9,\) \(2x+y \geq 8,\) \(x \geq 0,\) dan \(y \geq 0\).

Jawab:

Sama seperti nomor satu, kita skip cara mencari DHP.

Selanjutnya kita gambarkan fungsi tujuan.

\(z=x+2y\)

\(x+2y=2\)

Titik potong sumbu di \((2,0)\) dan \((0,1)\).

Setelah digeser, didapatkan titik minimum terletak pada titik \(R\).

Nah apabila sudah pasti seperti ini, baru kita cari koordinat titik \(R\) itu berapa.

Dikarenakan soalnya sama dan tadi kita sudah mencari titik \(R\), jadi kita skip lagi tahap ini. Nanti kalau soalnya beda, ya kamu harus cari dulu titik tersebut ya!

\(R (3,2)\)

\(z=x+2y\)

\(z=3+2(2)\)

\(z=7\)

Jadi nilai minimumnya adalah \(7\).

Soal Latihan Program Linear

Agar kamu lebih paham lagi, kamu harus sering-sering latihan. Berikut adalah soal latihan menentukan nilai optimum fungsi objektif.

1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan \(z=8x+6y\) dengan syarat: \(4x+2y \leq 60,\) \(2x+4y \leq 48,\) \(x \geq 0,\) \(y \geq 0\).

2). Tentukan titik minimum fungsi tujuan \(f(x,y)= 4x+y\) dengan fungsi kendala sebagai berikut:
\(\begin{cases} 2x+y \geq 16 \\ x+3y \geq 18 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)

Itulah pembahasan program linear lengkap dengan contoh soalnya, berikutnya aku akan kasih contoh soal cerita program linear. Jangan lupa bagikan tulisan ini agar bermanfaat untuk orang lain, gak sampai 5 menit kok untuk membagikan tulisan ini.

Video